Другие журналы

электронный научно-технический журнал

ИНЖЕНЕРНЫЙ ВЕСТНИК

Издатель: Общероссийская общественная организация "Академия инженерных наук им. А.М. Прохорова".

77-48211/453286 Матричный метод разложения вектора фазовых координат линейной механической системы по вариациям ее параметров

Инженерный вестник # 09, сентябрь 2012
Файл статьи: Беляев_P.pdf (189.45Кб)
авторы: Беляев А. В., Тушев О. Н.

УДК 517.947.44

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана

beliaev@bmstu.ru

 

            При анализе динамики механических систем часто возникает необходимость учета влияния вариаций параметров системы на ее фазовые координаты, о чём подробно изложено в [1].  Например, при анализе точности системы, когда её параметры имеют допусковый разброс, который носит случайный характер. Наиболее удобным подходом к решению поставленной задачи было бы получение явной аналитической зависимости выходных координат от интересующих нас параметров. При оценке точности линейных нестационарных систем получить такую зависимость, как правило, не удается. Поэтому чтобы получить ее, необходимо разложить фазовые координаты системы в ряд по вариациям параметров с центром разложения, соответствующим номинальным значениям параметров.

Нахождение коэффициентов вышеуказанного ряда связано с вычислением частных производных различного порядка от фазовых координат по параметрам системы. Хотя эта операция хорошо разработана и принципиальных трудностей не вызывает, при высоком порядке исходной системы и большом числе параметров она оказывается весьма громоздкой, а алгоритм для численной реализации - не универсальным. В настоящей работе предлагается метод вычисления коэффициентов разложения, не требующий нахождения частных производных в явном виде и легко реализуемый в виде универсального машинного алгоритма.

Будем считать, что динамика системы описывается векторным диффе­ренциальным уравнением вида

                                                              (1)

где  - -мерный вектор-столбец фазовых координат;  - квадратная матрица номинальных значений коэффициентов;  - матрица отклонений коэффициентов уравнения от номинальных значений;  - заданные функции времени, интегрируемые по Риману;  ;  - вектор аддитивных возмущений.

            Согласно [1] общее решение уравнения (1) можно записать в виде формулы

                        (2)

где  - нормированная интегральная матрица системы, называемая матрицантом (квадратная матрица, столбцами которой являются линейно независимых решений системы; условие нормировки: при ).

Преобразуем прямой и обратный матрицанты, входящие в (2), по известным формулам [2]:

                                                             (3)

                                             (4)

где                                                                    (5)

В дальнейшем матрицу будем называть матрицей вариаций. В [2], [3] показано, что матрицанты, как прямой так и обратный, от любой матрицы, имеющей интегрируемые по Римману элементы (нестационарные параметры), представимы в виде рядов, которые абсолютно и равномерно сходятся в любой замкнутой части интервала изменения аргумента. Разложим в такие ряды матрицанты от матрицы вариаций, входящие в (3) и (4):

         (6)

(7)

Выражение (6) определяет, по существу, разложение общего решения однородного уравнения в ряд по матрице вариаций; получим аналогичное разложение для частного решения. Подставив (6) и (7) во второй член равенства (2), сгруппировав члены с одинаковыми степенями матрицы вариаций и взяв в каждой группе членов некоторые интегралы по частям, запишем частное решение в виде

         (8)

где

          Используя (6) и (8), получим окончательно общее решение неоднородного уравнения (1) в виде ряда по матрице вариаций

                    (9)

где

Заметим, что каждый последующий член разложения, стоящий в фигурных скобках равенства (9), строится путем умножения предыдущего члена слева на матрицувариаций и интегрирования полученного произведения в заданном интервале изменения аргументаt.

Найдем теперь весовую функцию исследуемой системы относительного-го входа. Для этого рассмотрим реакцию системы управления на воздействие в виде дельта-функции Дирака - , приложенного к -му входу, т. е.

                                          (10)

Подставив (10) в (8) и использовав основное свойство дельта-функции, получим весовую функцию в виде

                   (11)

где  - вектор-столбец;  - символ Кронекера.

Структурно окончательные выражения (8), (9), (11) построены следующим образом. Первый член представляет собой решение для случая номинальных значений коэффициентов уравнения, когда их вариации равны пулю . Второй член включает в себя матрицувариаций в первой степени. Следовательно, учет только первых двух членов матричного ряда приводит к линеаризации зависимости фазовых координат системы от вариаций параметров, т. е. к принципам теории чувствительности. Остальные члены разложения с более высокими степенями матрицы вариаций последовательно уточняют решение и играют существенную роль только в случае значительных по абсо­лютной величине вариаций коэффициентов.

Как правило, при решении инженерных задач анализа САУ нас интересует явное разложение вектора фазовых координат по вариа­циям, а не формальные соотношения относительно матрицы вариаций. Переход к и нтересующим нас равенствам осуществим, разложив матрицу по матричным единицам. Матричной единицей называется матрица,у которой элемент с номером равен единице, а остальные элементы равны нулю.

                                                   (12)

Подставив (12) в выражение (5), получим

                                                          (13)

где  - квадратная матрица коэффициентов при вариации с номером .

          Теперь, чтобы преобразовать, например, второй член разложения, который согласно (9) можно записать в виде

                                                             (14)

подставим в него (13). Проделав несложные преобразования, запишем выражение (14) в виде

                                                                   (15)

где  - вектор коэффициентов при вариации с номером .

          Подставляя (13) и (15) в третий член равенства (9), можно аналогичным образом получить явное выражение относительно квадратов вариации и т.д.

          Таким образом, например, для -й фазовой координаты (-й компоненты вектора) можно записать

                             (16)

где  - число вариаций параметров, которые необходимо учесть при решении конкретной задачи (число вариаций не равных нулю из всех );  - номинальное решение;  - коэффициенты при соответствующих степенях вариаций.

Коэффициенты уравнения (1) могут быть функциями (в общем случае нелинейными) конструктивных параметров системы. Для того чтобы получить зависимости, аналогичные (16), но относительно вариаций этих параметров, необходимо разложить вышеупомянутые функции в степенные ряды по вариациям, подставить полученные раз­ложения в (16) и перегруппировать члены.

Разобьем основной интервал  на n достаточно малых частей, введя промежуточные точки  и положив  Выберем на интервале  промежуточную точку  (). Тогда прямой и обратный матрицанты вычисляются по формулам [2,3]

                                                    (17)

                                                (18)

Таким образом, расчет по формулам (9) и (11), а также трансформация векторных равенств укладываются в рамки обычных матричных операций и представляют собой, по существу, почти готовый для практической реализации алгоритм.

          Результаты работы представляют интерес для параметрического анализа механических систем, где используется теория чувствительности. Методика позволяет определить влияние вариаций параметров объекта, внешних воздействий и условий эксплуатации на динамические характеристики (перемещения, скорости, ускорения) объекта и внутренние силовые факторы в конструкции. Методика использовалась для выбора оптимальных параметров амортизации транспортно-пускового контейнера с летательным аппаратом, размещенного на многоосном шасси высокой проходимости.

Работа поддержана грантом РФФИ №11-08-00699.

 

ЛИТЕРАТУРА

1.    Светлицкий В. А. Статистическая механика и теория надежности: учебник для вузов - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. – 503 с.

2.    Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. – 575 с.

3.    Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. – 367 с.


Тематические рубрики:
Поделиться:
 
ПОИСК
 
elibrary crossref neicon rusycon
 
ЮБИЛЕИ
ФОТОРЕПОРТАЖИ
 
СОБЫТИЯ
 
НОВОСТНАЯ ЛЕНТА



Авторы
Пресс-релизы
Библиотека
Конференции
Выставки
О проекте
Rambler's Top100
Телефон: +7 (499) 263-69-71
  RSS
© 2003-2019 «Инженерный вестник» Тел.: +7 (499) 263-69-71