Другие журналы
|
научное издание МГТУ им. Н.Э. БауманаНАУКА и ОБРАЗОВАНИЕИздатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211. ISSN 1994-0408
Анизотропия распространения звука в магнитной жидкости с внутренним вращением
# 08, август 2012 DOI: 10.7463/0812.0441895
Файл статьи:
Овчинн_P.pdf
(257.63Кб)
УДК 532.591+537.84 Россия, «Московский государственный университет приборостроения и информатики»
ВВЕДЕНИЕ В работе [1] в рамках теории магнитной жидкости с вмороженной намагниченностью впервые была показана возможность распространения быстрой и медленной магнитозвуковых волн, а так же волны альфвеновского типа. Наиболее распространенной является модель магнитной жидкости с внутренним вращением [2, 3]. В работе [4] было показано существование волны альфвеновского типа наряду со звуковой волной в модели магнитной жидкости с внутренним вращением. Для других моделей магнитной жидкости получается распространение одной гидродинамической волны [5]. 1. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ФЕРРОГИДРОДИНАМИКЕ С ВНУТРЕННИМ ВРАЩЕНИЕМ В [2, 3] предложена система уравнений для магнитной жидкости с внутренним вращением. Дисперсионное уравнение для гидродинамических волн в данной жидкости было получено и решено для двух частных случаев распространения волн параллельно и перпендикулярно внешнему магнитному полю в [4]. Целью настоящей работы является вывод дисперсионного уравнения по методу [6-8] и получение решений для всех значений угла между направлением распространения волны и внешним магнитным полем, а так же численные расчеты анизотропии скорости ультразвука. Система уравнений для магнитной жидкости с внутренним вращением [2-4] включает в себя уравнение непрерывности , уравнение сохранения импульса , уравнение эволюции намагниченности , (1) уравнение эволюции объёмной плотности момента импульса , магнитостатические уравнения Максвелла , . Здесь - гидродинамическая скорость магнитной жидкости; ; - объёмная плотность момента импульса; - плотность магнитной жидкости; - давление; - момент инерции частиц, содержащихся в единице объёма магнитной жидкости; - плотность твёрдой фазы; - объем частицы магнетита, - динамическая вязкость магнитной жидкости со сферическими твердыми частицами по формуле А. Эйнштейна ( - вязкость жидкости–носителя), - объемная доля частиц магнетита, которая является безразмерной величиной меньше единицы; - броуновское время ориентационной релаксации магнитного момента; - время затухания собственного вращения малой частицы в вязкой жидкости, - диаметр частицы магнетита. Магнитные наночастицы находятся в однодоменном состоянии и слабоконцентрированная магнитная жидкость подобна суперпарамагнитному газу, поэтому равновесная намагниченность в однородном стационарном магнитном поле описывается формулой Ланжевена [9] , (2) где , - намагниченность насыщения магнетита, - константа Больцмана, - температура по абсолютной шкале. Для исключения объемной плотности момента импульса среды в [4,10] использовано условие , поэтому из уравнения эволюции намагниченности системы (1) в линейном приближении (, ) следует, что , где - магнитная восприимчивость. Линеаризованная система уравнений принимает вид [4] , , (3) , , . Рассмотрим распространение однородных плоских волн. Поскольку в системе (1) учитываются диссипативные процессы, то волновой вектор представлен в комплексном виде [6-8] где - мнимая единица, - волновое число и - коэффициент поглощения. Считаем, что покоящаяся магнитная жидкость находится в бесконечном объёме во внешнем магнитном поле , направленном вдоль оси . Волновой вектор находится в плоскости и образует угол с осью . Распространение волн малой амплитуды приводит к возмущению плотности, скорости и намагниченности, т. е. ,, и . Решения для возмущений переменных (штрихи пропущены) пропорциональны , поэтому система уравнений (3) в матричной форме примет вид , (4) где - вектор состояния, компонентами которого являются амплитудные значения возмущений плотности , скорости и намагниченности , - единичная матрица. Ненулевые компоненты матрицы перечислены ниже: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; . Здесь обозначено - дифференциальная магнитная восприимчивость; - феноменологическое время релаксации перпендикулярной к и компоненты намагниченности; - скорость звука в магнитной жидкости без внешнего магнитного поля; и являются равновесными значениями для невозмущённого состояния. Приравнивая к нулю определитель матрицы (4), получаем уравнение, которое, очевидно, расцепляется на два дисперсионных уравнения , ; ; ; . Индекс у величин , , , и фазовой скорости принимает значения для быстрой магнитозвуковой волны, для медленной магнитозвуковой волны и для модифицированной волны альфвеновского типа. Сначала рассмотрим уравнение, которое является линейным относительно неизвестного . Данное дисперсионное уравнение описывает распространение возмущений и , которые перпендикулярны волновому вектору и магнитному полю , . (5) Выражение (5) определяет модифицированную волну альфвеновского типа [4]. Из дисперсионного уравнения (5) получаются выражения для фазовой скорости и коэффициента поглощения , (6) , где , . Без учета сдвиговой вязкости из (6) получаются выражения для фазовой скорости и коэффициента поглощения , (7) , В пределе из (7) получается волна альфвеновского типа и [4], т. е. угловая зависимость получается такая же, как у волн данного типа в магнитной гидродинамике и феррогидродинамике с вмороженной намагниченностью [5]. Для у есть расходимость, но и волна не распространяется. В случае большой вязкости модифицированная волна альфвеновского типа (6) переходит в сдвиговую волну , (8) . Теперь рассмотрим дисперсионное уравнение, которое является квадратным для неизвестного и описывает распространение возмущений величин и , . (9) Коэффициенты квадратного уравнения имеют вид , , , , , . Решения уравнения (9) равны , где . Из последних соотношений следуют выражения для фазовой скорости (10) и коэффициента поглощения волн , где , , , , , . Таким образом, из дисперсионного уравнения (9) следует, что в магнитной жидкости с внутренним вращением распространяются еще два типа волн. По аналогии с магнитной гидродинамикой и феррогидродинамикой с вмороженной намагниченностью [5] назовем волну с большей фазовой скоростью быстрой магнитозвуковой волной, а с меньшей скоростью – медленной магнитозвуковой волной. Причем в выражениях для , верхний знак соответствует быстрой волне, а нижний - медленной волне. Теперь отмечаем, что полученные три типа волн обладают сложной зависимостью фазовых скоростей и коэффициентов поглощения от угла , т. е. анизотропией распространения. В случае распространения волн параллельно полю, дискриминант является полным квадратом и дисперсионное уравнение (9) факторизуется в два независимых уравнения , (11) . (12) Уравнение (11) описывает связанные осцилляции скорости и намагниченности, вектор поляризации которых перпендикулярен волновому вектору, внешнему магнитному полю и вектору поляризации модифицированной волны альфвеновского типа в данном случае. Скорость и коэффициент поглощения данной медленной волны являются такими же, как у модифицированной волны альфвеновского типа при . Можно утверждать, что параллельно магнитному полю распространяются две модифицированные волны альфвеновского типа с поляризациями по осям и . Уравнение (12) определяет осцилляции скорости и намагниченности, которые параллельны волновому вектору и внешнему магнитному полю, а так же плотности. В случае распространения волн перпендикулярно полю, дискриминант так же является полным квадратом и дисперсионное уравнение (9) преобразуется в формулу , где равно нулю произведение двух сомножителей. Приравнивая нулю первый сомножитель, получаем дисперсионное уравнение, которое определяет медленную волну с распространением возмущений и . Из данного дисперсионного уравнения определяются фазовая скорость и коэффициент поглощения медленной волны , , где , . Данная медленная волна при большой вязкости переходит в сдвиговую волну (8). В случае для малой вязкости фазовая скорость и коэффициент поглощения медленной волны имеют вид , (13) . В отличие от волны альфвеновского типа медленная волна распространяется перпендикулярно внешнему магнитному полю. Приравнивая нулю второй сомножитель получаем дисперсионное уравнение, которое определяет быструю волну с распространением возмущений , и , . Решениями данного уравнения являются выражения для фазовой скорости и коэффициента поглощения быстрой волны , . В случае малости стоксова коэффициента поглощения , (14) . (15) В пределе однородной жидкости , и поэтому . В случае малости стоксова коэффициента поглощения выражения для фазовой скорости и коэффициента поглощения быстрой волны тождественны (14-15) для всех значений угла . Фазовые скорости и коэффициенты поглощения медленной волны и модифицированной волны альфвеновского типа получаются как у сдвиговой волны (8) для всех значений угла .
2. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ Для численных расчетов использовались экспериментальные данные по анизотропии скорости ультразвука в магнитной жидкости EMG-605 при действии однородного стационарного магнитного поля кА/м [11]. Данная магнитная жидкость на основе воды с объемной концентрацией частиц магнетита и плотностью г/см3 производится компанией Ferrotec. Inc. Номинальный диаметр частиц равняется нм. Измерения анизотропии скорости ультразвука в [11] выполнялись при фиксированной температуре . Частота ультразвука была равной 4,37 МГц. В эксперименте [11] угол варьировался в диапазоне . Намагниченность насыщения магнетита равна Гс [9]. Рассчитанная по формуле Ланжевена намагниченность для этого случая равна Гс. Величину скорости ультразвука в магнитной жидкости при отсутствии внешнего магнитного поля приняли равной . Для воды , поэтому вычисленные значения времен релаксации равны и . На рис. 1 изображена теоретическая кривая для скорости медленной волны по формуле (10) без учета вязкости в зависимости от угла . Данная волна проявляет анизотропию, причем скорость перпендикулярно магнитному полю больше, чем параллельно полю. Это очевидно, так как в пределе из (13) получается , что превосходит скорость волны альфвеновского типа при , которая равна скорости медленной волны при . Это совпадает с данными вычислительного эксперимента, которые изображены на рис.1.
Рис. 1 Скорость медленной магнитозвуковой волны в зависимости от угла . При действии внешнего магнитного поля медленная волна была обнаружена в магнитной суспензии, где частицы имеют микронные размеры [12]. В данных экспериментах использовалось сильное магнитное поле и для частиц применимо однодоменное состояние. В теории магнитной жидкости с вмороженной намагниченностью были объяснены экспериментальные данные по скорости медленной волны: около [5]. В [12] эксперименты проведены только для распространения волн вдоль поля . В теории магнитной жидкости с вмороженной намагниченностью [5,13] медленная волна не распространяется перпендикулярно магнитному полю, а в теории магнитной жидкости с внутренним вращением распространяется в случаях и (13). Это является еще одним отличием двух теорий.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ Таким образом, показано, что в модели магнитной жидкости с внутренним вращением существуют три гидродинамические моды, как и в теории магнитной жидкости с вмороженной намагниченностью [5]. Геометрия задачи отличается от [4], но это не влияет на получаемые решения в модели магнитной жидкости с внутренним вращением. Из полученных в данной работе выражений следует, при распространении быстрой и медленной волн возмущается плотность и, поэтому проявляется анизотропия скорости и коэффициента поглощения звука. Модифицированная волна альфвеновского типа – это распространение возмущений компонент скорости и намагниченности, которые перпендикулярны направлению волнового вектора, т. е. является поперечной волной.
ЛИТЕРАТУРА 1. Sokolov V.V., Tolmachov V.V. Wave Propagation in Magnetic Fluid with Frozen Magnetization // Sev. Int. Conf. onMagn. Fluids : Abstracts. India, Bhavnagar, 1995. P. 194-195. 2. Шлиомис М.И. К гидродинамике жидкости с внутренним вращением // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1966. Т. 51. Вып. 1 (7). С. 258-265. 3. Зайцев В.М., Шлиомис М.И. Увлечение ферромагнитной суспензии вращающимся полем // Журнал прикладной механики и технической физики. 1969. № 5. С. 11-16. 4. Райхер Ю.Л., Шапошников И.Г. О спектре собственных колебаний ферромагнитной жидкости // Физические свойства и гидродинамика ферромагнетиков: сб. науч. тр. / Уральский научный центр, Академия наук СССР. Свердловск, 1977. С. 20-27. 5. Sokolov V.V. Wave Propagation in Magnetic Nanofluids (A Reiew) // Acoustical Physics. 2010. Vol. 56. No. 6. P. 972-988. DOI : 10.1134/S1063771010060229 6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 624 с. 7. Резибуа П., Де Леенер М. Классическая кинетическая теория жидкостей и газов. М.: Мир, 1980. 424 с. [Resibois P., De Leener M. Classical Kinetic Theory of Fluids. NewYork: JohnWileyandSons, 1977]. 8. Буров В.А., Алексеенко Н.В., Румянцева О.Д. Многочастотное обобщение алгоритма Новикова для решения обратной двумерной задачи рассеяния // Акустический журнал. 2009. T. 55. № 6. C. 784-798. 9. Фертман В.Е. Магнитные жидкости: справочное пособие. Мн.: Высш. шк., 1988. 184 с. 10. Шлиомис М.И. Эффективная вязкость магнитных суспензий // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1971. Т. 61. Вып. 6 (12). C. 2411-2418. 11. Hornowski T. Ultrasonic Properties of EMG-605 Magnetic Liquid // Proc. of SPIE. 2005. Vol. 5828. P. 205-212. DOI : http://dx.doi.org/10.1117/12.612810 12. Nahmad-Molinari Y, Arancibia-Bulnes C.A., Ruiz-Suarez J.C. Sound in a Magnetorheological Slurry // Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 82. P. 727-730. 13. Овчинников И.Э., Соколов В.В. Влияние внешнего магнитного поля на скорости распространения магнитозвуковых волн в магнитной жидкости // Акустический журнал. 2009. T. 55. № 3. C. 356-361.
Публикации с ключевыми словами: ультразвук, магнитная жидкость, намагниченность, наночастицы, магнетит Публикации со словами: ультразвук, магнитная жидкость, намагниченность, наночастицы, магнетит Смотри также:
Тематические рубрики: Поделиться:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|