НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Файл статьи: SE-BMSTU...o214.pdf (1714.89Кб)

УДК 519.6

1 МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

В настоящее время вопросы обработки больших объемов информации приобретают большое значение. Изначально кривые Эндрюса были предложены для изображения многомерных статистических данных на плоскости. Но поскольку кривые Эндрюса сохраняют информацию о средних значениях отображаемых величин, расстояниях и дисперсии, расстояния между кривыми линейно отображают расстояния между точками данных, появляется возможность использования рассматриваемых кривых для графического представления многомерных данных различного рода. В данной работе проводится анализ различного математического аппарата для построения кривых Эндрюса с целью визуализации многомерных данных.
В первом разделе представлены основные сведения о кривых Эндрюса, а также о тестовом наборе многомерных данных, названных в литературе Ирисы Фишера.  Анализ свойств кривых Эндрюса показывает, что они дают неограниченно много одномерных проекций на векторы и, кроме того, кривые, расположенные ближе друг к другу соответствуют близким точкам. Все это дает возможность использования рассматриваемых кривых для представления многомерных данных. Рассмотрено формирование кривых Эндрюса на основе функций преобразования Фурье и по результатам анализа построенных кривых на тестовом наборе сделан вывод о возможности кластеризации многомерных данных таким способом.
Второй раздел представленной работы посвящен исследованию различных способов модификации кривых Эндрюса с целью улучшения восприятия графического представления многомерных данных. Рассмотрены различные варианты проекций кривых Эндрюса на координатные плоскости и произвольные подпространства. Кроме того, исследовано влияние масштабирования кривых Эндрюса на визуальное восприятие многомерной информации.
В третьем разделе работы описано построение кривых Эндрюса на основе различных полиномов, в частности полиномов Чебышева и Лежандра. Показано, что результирующее изображение хорошо коррелирует с исходной точечной диаграммой и кривыми Эндрюса, построенными на основе преобразования Фурье. Это позволяет сделать вывод о том, что применение полиномиальных функций в качестве базиса для кривых Эндрюса применимо для анализа многомерных данных
Четвертый раздел посвящен исследованию вейвлетов в качестве базиса для построения кривых Эндрюса. Отмечено, что вейвлеты имеют некоторые преимущества по сравнению с рядами Фурье. Во многих областях анализа сигнала преобразование Фурье используется для измерения частотных характеристик сигнала по всей области. Напротив, вейвлет-преобразование используется, когда требуется измерение частотных характеристик в связках, локализованных по времени. Преобразование Фурье и вейвлет-преобразование являются взаимодополняющими. Преобразование Фурье дает усреднение частоты по времени, а вейвлет-преобразование дает значения частоты сигнала на произвольном интервале времени. Построение кривых Эндрюса на основе вейвлетов с использованием тестового набора данных показало применимость такого подхода для графического представления многомерных данных.

1. Карпенко А.П. Современные алгоритмы поисковой оптимизации. Алгоритмы, вдохновленные природой. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014. 446 с.
2. Белоус В.В., Грошев С.В., Карпенко А.П., Остроушко В.А. Методы визуализации фронта Парето в задаче многокритериальной оптимизации. Обзор // XX Байкальская Всероссийская конференция «Информационные и математические технологии в науке и управлении»: тр. (Иркутск-Байкал, Россия, 29 июня - 7 июля 2015 г.). Ч. 1. Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2015. С . 22-29 .
3. Andrews D.F. Plots of high-dimensional data // Biometrics. 1972. Vol. 28, no. 1. P. 69-97. DOI: 10.2307/2528964
4. Fisher R.A .The Use of Multiple Measurements in Taxonomic Problems // Annals of Eugenics. 1936. Vol. 7, iss. 2. P. 179-188 .
5. Embrechts P., Herzberg A.M. Variations of Andrews' Plots // International Statistical Review / Revue Internationale de Statistique. 1991. Vol. 59, no. 2. P. 175-194. DOI: 10.2307/1403442
6. Embrechts P., Herzberg A.M., Kalbfleisch H.K., Traves W.N., Whitla J.R. An introduction to wavelets with applications to Andrews plots //Journal of Computational and Applied Mathematics. 1995. Vol. 64, iss. 1-2. P. 41-56. DOI:10.1016/0377-0427(95)00005-4