НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Памяти

 талантливого Учёного, доброго и

благородного человека- Вадима

Васильевича Харламова

Посвящается

Методология параметрической оптимизации деталей и конструкций сложных конфигураций

Проф., докт.техн.наук Б.Н.Поляков
( Российский государственный профессионально-
педагогический университет)

При проектировании тяжелонагруженных несущих, фундаментных и корпусных деталей или конструкций сложной конфигурации, применяемых в оборудовании прокатных цехов и подверженных воздействию технологических и тепловых нагрузок, неизбежно возникает задача выбора наилучших, оптимальных с позиции того или иного критерия качества, конфигураций деталей и режимов охлаждения.

Постановки и решения задач оптимального проектирования для реальных деталей достаточно сложных, а часто уникальных форм, обладают рядом особенностей. Математическая модель, составляющая информационную основу постановки любой оптимизационной задачи, из-за многообразия конструкций деталей, должна быть достаточно универсальной, с возможностями широкой вариации краевыми условиями, переменными проектирования, областью изменения управляющих параметров и ограничениями в виде равенств или неравенств. Этим качествам в наибольшей степени удовлетворяет постановка краевой задачи, описываемой системой дифференциальных уравнений в частных производных, с соответствующими граничными и начальными условиями, одной из разновидностей которой является модель метода конечных элементов (МКЭ). Поэтому главная трудность оптимизации деталей и металлоконструкций сложной конфигурации, с позиции таких распространенных критериев качества, как минимальная ( заданная ) металлоёмкость, максимальная ( заданная ) жесткость или минимальная ( заданная ) напряженность и т.п., заключается в высокой размерности и громоздкости математических моделей, описывающих их напряженное, деформированное ( НДС ) или термоупругое состояния ( ТУС ), которые в большинстве случаев могут быть представлены в матричной форме, в виде программ расчета на ЭВМ НДС и ТУС. Еще одна особенность решения таких задач: достоверность и точность решения зависят от уровня информативности процесса проектирования, т.е. полноты и точности знаний условий нагруженности, характера связей и степеней свободы детали, служебных свойств материала, теплофизических характеристик и т.п., а знания эти весьма приближенны и ограничены. Поэтому, с инженерной точки зрения, достижение математически точного оптимума чаще всего не имеет практического смысла, ибо граничные и начальные условия краевой задачи никогда не бывают известны с большой точностью, и всегда имеются различные, и даже математически не формализуемые, технологические ограничения, “способствующие” получению лишь рационального решения. Кроме того, стоимость расчета одного варианта конструкции, особенно трехмерного НДС или ТУС, может быть очень высокой, и, следовательно, большую практическую значимость приобретает сложность, а значит, и скорость сходимости алгоритма оптимизации. Однако, все же следует заметить, что возможность получения корректного оптимального решения чрезвычайно важна, так как, во- первых, это естественное и извечное стремление к совершенству и истине, и, во- вторых, даже не реализуя его в конструкции, позволяет инженеру при проектировании определить направления умеьшения массы детали или при сохранении металлоемкости снизить нагруженность и повысить ее однородность, а значит и увеличить долговечность.

Анализ требований, предъявляемых к этим деталям, позволяет сформулировать следующие виды математической постановки задач оптимизации [1].

Пусть рассматривается упругое тело, занимающее область V границей S . В качестве критерия оптимальности Y выберем максимум эквивалентных напряжений σ_ЭКВ в исследуемой области

Y( X ) = σ_ЭКВ ( X, Z ),

где Z - вектор координат ;

X - вектор варьируемых параметров проектирования ( конструктивные размеры элементов ), = VUS.

Задача 1. Требуется найти вектор X*, который сообщает минимум критерию оптимальности

Y ( X* ) = σ_ЭКВ ( X, Z ) ( 1 )

при ограничениях типа равенств

£(z,u,q ) = 0, ZV; ( 2 )

φ( z,u,q ) = 0, Z S ; ( 3 )

и неравенств

σ_ЭКВ ( X*, Z ) [ σ ], Z V; ( 4 )

/ u_i( X*, Z )/ [ u ], ZV, i = 1,2,3; ( 5 )

X* X, ( 6 )

где £ - дифференциальный оператор, определяющий краевую задачу теории упругости;

φ - оператор, задающий граничные условия;

u - вектор перемещений;

q - вектор нагрузок;

X - допустимое множество варьируемых параметров, определяемое

геометрическими, конструктивными и технологическими условиями;

[σ] - условие прочности, зависящее от материала конструкции, вида напряженного состояния, характера нагружения, принимаемой расчетной схемы и других факторов;

[u] - верхняя граница ограничений перемещений, зависящая от допустимых величин зазоров между деталями, требуемой жесткости и т.д.

Однако, для некоторых деталей, например таких, как станина листового стана горячей или холодной прокатки, определяющим параметром является жесткость. Поэтому в качестве целевой функции необходимо принимать уровень перемещений u_i. Тогда задача оптимизации может быть поставлена следующим образом.

Задача 2. Найти вектор Х* , который сообщает минимум критерию оптимальности

Y( X* ) = / u_i (X,Z)/

при наличии ограничений типа равенств ( 2 ), ( 3 ) и неравенств ( 4 ), ( 5 ), а i принимает значение 1, либо 2, либо 3.

Кроме задач 1 и 2, для ряда деталей необходимо выделить также задачу минимизации массы, которую можно сформулировать так:

Задача 3. Найти вектор Х*, который сообщает минимум критерию оптимальности

Y ( X* ) = ,

где γ - плотность материала, при наличии ограничений ( 2 ) - ( 4 ).

Данные математические постановки демонстрируют подход к задачам оптимизации по принципу “черного ящика”, когда состояние объекта описывается двумя группами параметров: входными ( независимыми ) переменными проектирования ( варьируемые параметры конструкции - вектор X ) и выходными ( зависимыми ) - показателями качества функционирования объекта - Y . Такой подход прост и удобен для большинства реальных монолитных и сварных конструкций, когда оптимизации, как правило, предшествуют вариантные расчеты и тщательный анлиз НДС или ТУС. Особенно практично применение этого принципа для параметрической оптимизации конструкций, в которых расчет НДС не очень дорог и количество параметров проектирования ограничено, а требуется моделировать множество вариантов ограничений и условий нагружений (например, для поиска критических условий разрушения ).

Выбор эффективного метода решения задачи оптимизации зависит от особенностей изменения НДС детали при варьировании ее параметров. При оптимизации формы для моделей поведения конструкций, основанных на МКЭ, имеется большая свобода выбора варьируемых параметров, определяющих постановку и эффективность задачи. Но даже при дискретном узловом представлении плоской модели МКЭ напряжения необходимо определять в нескольких сотнях точек. Обычно при анализе НДС ограничиваются рассмотрением точек, лежащих на контуре детали, но и в этом случае их число достигает нескольких десятков. Это затрудяет анализ результатов расчета. Поэтому целесообразно строить целевую функцию для характерных точек, учитывающую особенности НДС или ТУС всей детали, например для точек максимума интенсивности или максимума эквивалентных напряжений.

Таким образом, для большинства задач оптимизации при проектировании деталей сложной конфигурации характерны следующие особенности :

1. Как правило, связь между критерием оптимальности Y и вектором X имеет не явный характер, а осуществляется через систему дифференциальных уравнений второго порядка.

2. Математическая модель оптимизируемого объекта выражается не в явном аналитическом виде, а в форме оператора, реализованного в виде программ расчета НДС или ТУС на ЭВМ.

3. Большая размерность пространства оптимизируемых параметров.

4. Значительные затраты машинного времени на вычисление одного значения целевой функции.

5. Смешанный состав ограничений на характеристики объекта, т.е. в математической постановке присутствуют как равенства, так и неравенства.

При решении таких сложных задач оптимизации строгими математическими методами возникают значительные трудности: методы математического программирования трудно реализовать даже на самых мощных ЭВМ. Однако, для их решения можно применить комбинацию известных методов: планирования численных экспериментов на ЭВМ и решения задач математического программирования. Метод планирования экспериментов позволяет выполнить аппроксимацию численного решения : найти явную зависимость для целевой функции и функций ограничений, оценить существенность влияния факторов на критерий оптимизации, в различных диапазонах изменения управляющих параметров, и уменьшить количество расчетных вариантов [1]. Тогда задачу оптимизации легко свести к задаче линейного или нелинейного программирования, применяя для решения, например, симплекс - метод Нелдера - Мида или метод наискорейшего спуска [1 ].

Решение задачи параметрической оптимизации при проектировании деталей сложных конфигураций, с позиции того или иного критерия качества, предлагается выполнять поэтапно в следующей последовательности ( см. Рис.) :

1. Разработать или принять математическую модель оптимизируемой детали, которая представляется в виде программы расчета НДС или ТУС на ЭВМ. В дальнейшем эту модель рассматривать в виде “черного ящика”, на вход которой подаются варьируемые параметры, а на выходе снимаются показатели НДС или ТУС объекта проектирования.

2. С использованием принятой модели после серии пробных расчётов выявить переменные проектирования ( конструктивные параметры ), наиболее существенно влияющие на напряжения и деформации. Если в результате определена конфигурация детали, удовлетворяющая заданным требованиям ( например, уровню напряжений, металлоемкости и т.д.), то расчеты можно прекратить.

Рис. Блок - схема алгоритма поэтапного решения задачи многовариантного проектирования оптимальных деталей сложной конфигурации

3. Если вариант конструкции не удовлетворяет заданным требованиям, то на выявленных переменных проектирования, наиболее существенно влияющих на выходные параметры детали, спланировать численный эксперимент на ЭВМ.

4. Выполнить серию расчетов по плану полного факторного эксперимента,

при этом максимальное число вариантов равно 2ⁿ , где n - количество варьируемых на двух уровнях параметров; для снижения вариантности можно применить и дробный факторный эксперимент.

5. В окрестности исходной точки (соответствующей прототипу проектируемой детали), на основе статистических методов - программ корреляционного и множественного регрессионного анализа матрицы планирования - выполнить локальную аппроксимацию характеристик системы ( функций отклика ) линейными или нелинейными уравнениями регрессии, представляющими зависимости максимальных величин напряжений и деформаций в характерных точках детали от ее конструктивных параметров и их парных взаимодействий .

6. Выполнить анализ полученных явных зависимостей ( уравнений регрессии) для целевых функций ограничений, с выявлением наиболее статистически существенных конструктивных параметров. Если полученной

информации недостаточно для принятия решения и проектирования рациональной конструкции, то перейти к следующему этапу.

7. Используя строгие методы решения задач математического

программирования, при наличии системы ограничений на переменные проектирования и уровень напряжений и деформаций в ряде точек, а также принимая целевую функцию ( уровень напряжений, металлоемкость и т.д.), получить рациональный ( оптимальный ) вариант конструкции, что выполняется достаточно эффективно при малых затратах машинного времени.

Для реализации представленного алгоритма ( см. Рис. ) оптимизации

конструкций разработано программное обеспечение.

Сформированный алгоритм поэтапного, последовательного решения задачи параметрической оптимизации сложных конструкций обладает рядом подтвержденных на практике преимуществ [ 1 ] :

1. объединение и тесное взаимодействие программ оптимизации с пакетом программ для исследований НДС или ТУС конструкций, что обеспечивает быструю сходимость и экономичность алгоритма;

2. учёт значительной доли опыта, интуиции и здравого смысла квалифицированного инженера - конструктора и активное его участие в процессе принятия решений;

3. формируемые на этапе 5 уравнения регрессии, аппроксимирующие связь НДС в характерных точках с переменными проектирования, могут быть использованы непосредственно в расчетной практике при проектировании для анализа НДС или ТУС и выбора рациональных параметров, без привлечения мощных ЭВМ, а также при разработке САПР несущих и термонагруженных деталей, построении их параметрических рядов и для унификации; кроме того, уравнения регрессии позволяют оценить чувствительность критерия оптимальности к параметрам ( определить градиенты при движении к оптимуму ) и выбрать лучшее проектное решение ;

4. возможность дополнения известными программными средствами, реализующими в реальном масштабе времени диалоговый режим коррекции всех компонентов граничных условий, в том числе и конфигурации детали, что в значительной степени приближает процесс оптимизации к организации замкнутой системы автоматизированного синтеза оптимальных конструкций.

Работоспособность и эффективность созданных алгоритма последовательной параметрической оптимизации и программного обеспечения убедительно доказаны на многочисленных примерах усовершенствования конструкций станин обжимных, непрерывно - заготовочных и листовых станов горячей и холодной прокатки, универсальных шарниров, карданов и тяг различных конструкций, типовых несущих деталей горного, бурового и другого оборудования тяжелого машиностроения [1, 2].

Библиографический список

1. Нагружённость, несущая способность и долговечность прокатного оборудования / Б.Н. Поляков, Ю.И.Няшин, И.Ф.Волегов, А.Ф.Трусов. М.: Металлургия, 1990. 320 с

2. Поляков Б.Н. Повышение качества технологий и долговечности оборудования прокатных станов. Екатеринбург: Изд - во Урал. гос. проф.- пед. ун - та, 1993. Ч.1. 208 с