НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 62-52

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана

popov@bmstu.ru

d.stalky@gmail.com

Введение

В статье рассмотрено решение задачи многокритериальной оптимизации параметров электрогидравлического усилителя (ЭГУ), обеспечивающих выполнение требований к динамическим характеристикам электрогидравлического следящего привода (ЭГСП), которые соответствуют первому уровню оптимизации (Ур. 1) [1]. Принятое здесь разделение ЭГСП на две оптимизируемых подсистемы соответствует широко применяемой блочной структуре ЭГСП (рис. 1).

Рис. 1. Блочная структура ЭГСП.

БУ – блок управления, ЭМП – электромеханический преобразователь, ГУ – предварительная ступень усиления, ЗР – золотниковый распределитель (основная ступень усиления), МОС – механическая обратная связь по положению золотника, ИМ – исполнительный механизм (гидроцилиндр), ДОС – датчик основной обратной связи,  – сигнал управления,  – координата управляемого объекта, создающего нагрузку на выходное звено ЭГСП

В литературе описано большое количество методов многокритериальной оптимизации [2, 3, 4, 5][2], [3], [4]. [5], каждый из которых имеет свои преимущества и недостатки. В связи с этим одним из этапов решения задачи многокритериальной оптимизации является выбор и обоснование метода.

Определение параметров ЭГСП основано на том, что конструктор, имея техническое задание, предварительно проектирует его принципиальную схему. Пример такой схемы с ЭГУ типа сопло-заслонка, снабженного механической обратной связью по положению золотника представлен на рис. 2. Основные конструктивные решения составляющих ЭГСП устройств широко распространены в приводах авиационных систем, станков с программным управлением, робототехнических систем и других современных систем управления [6], [7][6, 7].

Рис. 2. Принципиальная схема ЭГСП с ЭГУ типа «сопло-заслонка»
с механической обратной связью по положению золотника (СЗ с МОС).
Сокращения – см. рис. 1.

Процедура выбора параметров подсистемы второго уровня оптимизации ЭГСП (Ур. 2) состоит из следующих этапов:

1) Составление математической модели ЭГУ и определение вектора варьируемых параметров.

2) Определение критериев для минимизации отклонений характеристик проектируемого ЭГУ с различным сочетанием параметров от технического задания. Критерии  отбираются из вектора целевых функций и ограничений в виде ,сформированных на первом уровне оптимизации.

3) По принятой концепции оптимизации ЭГСП [1], частота пропускания ЭГУ  (частота, при которой фазочастотная характеристика ЭГУ пересекает уровень -90°) должна быть в 3…5 раз больше собственной частоты исполнительного механизма . В этом случае, как показывает практика, можно рассматривать подсистему Ур. 2 в составе всего ЭГСП в виде пропорционального звена с коэффициентом передачи , равном [7]:

где  – расход рабочей жидкости (РЖ) через окна золотникового распределителя при максимальном токе управления  в обмотках ЭМП и равенстве нулю перепада давлений между полостями исполнительного механизма.

1 Математическая модель ЭГУ и определение вектора варьируемых параметров

На этапе предварительного синтеза параметров ЭГУ для оценки его устойчивости и быстродействия применяют в практике проектирования таких устройств линеаризованную математическую модель [8]. Однако для более подробного исследования характеристик ЭГСП с целью выявления условий, при которых может изменяться качественная природа решений уравнений, описывающих работу спроектированного привода (возникать катастрофы), необходимо затем применить нелинейную математическую модель  [9]. Динамические характеристики реального ЭГУ обычно отличаются от характеристик его линейной модели из-за следующих факторов:

– сухое трение в золотниковом распределителе;

– нелинейность расходно-перепадной характеристики золотникового распределителя, имеющей разрыв в нуле.

Используемые далее переменные и их соответствие составляющим ЭГУ элементам показано на рис. 3.

Рис. 3. Схема подсистемы Ур. 2

При формировании математической модели ЭГУ приняты следующие допущения, существенно не снижающие точность описания характеристик ЭГУ.

1) Пренебрежимо малыми считаются:

– сжимаемый объем РЖ в торцевых камерах золотникового распределителя;

– масса золотника;

– вязкое и сухое трение в паре золотник-гильза;

– непосредственное силовое воздействие упругого стержня МОС на координату золотника.

2) Смещение заслонки от нейтрального положения много меньше зазора между соплом и заслонкой при отсутствии сигнала управления.

3) Гидравлические характеристики элементов гидравлического моста предварительного каскада усиления и окон золотниковой пары симметричны.

4) Подвижная система ЭМП имеет электромагнитное демпфирование, характеризуемое апериодическим звеном  с соответствующей собственной частотой  [10].

С учетом принятых допущений, математическую модель ЭГУ описывают приведенные ниже уравнения [11].

Уравнение, моментов, действующих на заслонку:

Здесь:

–  – активный электромагнитный момент определяется соотношением

–  – момент сопротивления подвижной системы электромеханического преобразователя (ЭМП) описывается апериодическим звеном, поскольку собственная частота подвижной системы ЭМП  в современных ЭМП более чем в 3 раза превышает частоту :

где  – угол поворота подвижной системы ЭМП,  – коэффициенты эластичности характеристики ЭМП,  –номинальный момент на заслонке при токе управления ;

–  – момент, создаваемый механической обратной связью, определяется выражением

где  – расстояние от цента вращения подвижной системы ЭМП до точки контакта пружины обратной связи с золотником,  – жесткость пружины обратной связи,  – смещение золотника от нейтрального положения;

–  – момент, вызванный гидравлической нагрузкой на заслонке, определяется формулой

где  – расстояние от цента вращения подвижной системы ЭМП до оси сопел,  – силы воздействия потока РЖ на заслонку со стороны каждого из сопел, которые зависят от режима течения жидкости [12], [13][13,14].

Результирующая сила воздействия потока РЖ на заслонку со стороны сопел при отрывном истечении:

где  – диаметр сопла,  – давления в зазорах между соплами и заслонкой,  – плотность РЖ,  – расход через каждое сопло.

Для расчета статических характеристик предварительной ступени усиления ЭГУ гидравлический мост можно описать матрицей [14]:

,

где  – обозначение типа каждого элемента, входящего в схему, N – количество элементов, i – номера узлов, соответствующих каждому элементу. Такой способ описания гидравлической схемы позволяет создать простой алгоритм расчета ее параметров при любой сложности схемы. На рис. 3 показан пример нумерация узлов для определения статических характеристик предварительной ступени усиления ЭГУ. В данном случае не учитывается сопротивление канала сопла и канализации корпуса ЭГУ.

Нелинейное уравнение, описывающее связь расхода РЖ через любой дросселирующий элемент (далее – дроссель) гидравлического моста с перепадом давлений между входом  и выходом  имеет вид

где  – коэффициент расхода,  – число Рейнольдса для потока РЖ в дросселе,  – геометрические параметры дросселя,  – относительное противодавление,  и  – давления на входе и выходе дросселя,  – площадь проходного сечения дросселя. Зависимости  для различных типов элементов гидравлического моста ЭГУ приведены в работе [12].

Уравнения, описывающие делитель потока (тройник), без учета потерь давления на нем, имеют вид:

Уравнения движения золотника без учета его массы принимает вид

где  – перепад давлений на торцах золотника,  –диаметр золотника,  – гидродинамическая сила, действующая на золотник,  – коэффициент усиления предварительного каскада по давлению,  – коэффициент усиления предварительного каскада по расходу.

Расход РЖ, протекающей через окно золотникового распределителя, определяется известной из гидравлики формулой [7]

где  – полученная экспериментально зависимость проводимости окна золотникового распределителя от плотности РЖ , температуры РЖ , суммарной ширины окон золотникового распределителя , перемещения золотника , направления потока жидкости ;   – относительное противодавление,  и  – давления на входе и выходе окна золотникового распределителя;  – удельная проводимость окна золотникового распределителя.

Коэффициенты линеаризованной расходно-перепадной характеристики предварительной ступени усиления типа сопло-заслонка определяются с помощью следующих соотношений

в которых  – расход утечки через сопло, зазор между соплом и заслонкой и давление на торцах золотника при нейтральном положении заслонки.

Гидродинамическая сила, действующая на золотник со стороны потока РЖ, без учета инерции жидкости, определяется формулой [16]:

где  – полученная экспериментально зависимость удельной проводимости окна золотникового распределителя от температуры РЖ , отклонения золотника от нейтрального положения , направления потока РЖ через окно , относительного противодавления ,  – ширина окна золотникового распределителя,  –давления на входе и выходе окна,  – угол между направлением потока РЖ, протекающего через окно золотникового распределителя и осью золотника.

Для оценки быстродействия ЭГУ можно принять:

где  – жесткость гидродинамической пружины

Таким образом, наиболее существенные динамические свойства ЭГУ описываются колебательным звеном с постоянной времени [11]:

где  – гидравлическая постоянная времени предварительной ступени усиления:

 – коэффициент усиления разомкнутого контура:

где  – коэффициент обратной связи при условии , характерном для реальных конструкций.

Описание ЭГУ звеном второго порядка не учитывает возможные области неустойчивой работы. В связи с этим, необходимо при выборе проектного варианта ЭГУ учитывать ограничения на коэффициент усиления разомкнутого контура , изложенные в ГОСТ 22750-77.

Коэффициент усиления ЭМП по моменту определяется выражением

Здесь  – отклонение золотника от нейтрального положения при максимальном токе управления .

В соответствии с записанными выше уравнениями, варьируемыми параметрами для подсистемы Ур. 2 являются коэффициент усиления ЭМП по моменту , расстояние от центра вращения подвижной системы ЭМП до оси сопел , расстояние от центра вращения подвижной системы ЭМП до точки контакта упругого стержня обратной связи с золотником , жесткость стержня обратной связи  (геометрические параметры, определяющие ее – диаметр и длина стержня), диаметр сопел , зазор между соплом и заслонкой при отсутствии сигнала управления , диаметр плечевых дросселей , диаметр  золотника и максимальное отклонение золотника от нейтрального положения .

2 Выбор критериев

Критериями при оптимизации подсистемы Ур. 2 могут быть приняты:

1) Быстродействие, характеризуемое, согласно изложенному выше, постоянной времени .

Согласно концепции оптимизации ЭГСП, на значение частоты пропускания ЭГУ  наложено ограничение:

2) Энергетические характеристики.

Критерием, характеризующим энергетическую эффективность привода является расход утечки РЖ при отсутствии сигнала управления ():

где  – расход утечки через предварительный каскад усиления,  – расход утечки через зазоры в золотниковой паре. Целесообразно рассматривать в качестве критерия только расход утечки через предварительный каскад усиления, поскольку расходу утечки через зазоры в золотниковой паре зависит от величины зазоров и перекрытий, что является функцией технологических возможностей предприятия и требований к нагрузочной характеристике ЭГУ.

3 Решение многокритериальной задачи

В ряде работ для решения задач многокритериальной оптимизации (МКО) ЭГСП успешно апробированы метод ЛП-поиска [6, 17][6], [17] и генетические алгоритмы (ГА) [18]. ГА универсальны и просты в применении. Многокритериальные модификации ГА [2] позволяют получать более полную аппроксимацию фронта Парето по сравнению с методом ЛП-поиска при меньшем участии конструктора. Сравнение эффективности ЛП‑поиска и ГА, примененных к данной задаче, представлено на рис. 6 и в табл. 3.

Для выбора оптимального проектного варианта в задаче МКО, как правило, необходимо сравнивать векторные критерии, элементы которых имеют различные размерности. В связи с этим, необходимо нормировать множество, составляющее полученный в результате применения выбранного алгоритма МКО фронт Парето. Если ни один из элементов фронта Парето не принимает нулевого значения, целесообразно нормировать пространство критериев следующим образом:

где  – минимальное значение критерия ,  – значение критерия  при сочетании конструктивных параметров ,  – количество критериев.

В качестве примера ниже рассмотрена задача оптимизации ЭГУ со следующими параметрами:

максимальный ток управления

расход РЖ через ЭГУ при максимальном токе управления

частота пропускания ЭГУ, управляющего приводом с собственной частотой , не менее .

Таким образом, значение постоянной времени ЭГУ должно удовлетворять условию .

Диапазон изменения варьируемых параметров и полученное оптимальное сочетание параметров ЭГУ приведены в табл. 1. Границы изменения параметров определены из соображений технологических ограничений и конструктивной реализуемости.

Таблица 1

Для оценки качества проектного варианта использованы критерии, описанные выше:

1) Постоянная времени ЭГУ

2) Расход непроизводительной утечки через предварительный каскад

При помощи многокритериальной модификации ГА NSGA-II получен набор точек, лежащих на границе Парето (аппроксимация фронта Парето) (рис. 4). Затем полученный набор точек нормирован описанным выше способом (рис. 5).

Для получения большего разнообразия проектных вариантов и более равномерного распределения точек на аппроксимации фронта Парето в алгоритме NSGA‑IIпредусмотрена процедура оценки расстояния между точками в пространстве многих критериев. Для того, чтобы исключить влияние размерности критериев на вид аппроксимации фронта Парето, оценка расстояния между точками должна производиться для каждого поколения на основе нормированных значений критериев.

Рис. 4. Аппроксимация фронта Парето

Рис. 5. Нормированный фронт Парето

Рис. 6. Сравнение решений задачи МКО ЭГУ методами ГА и ЛП-поиска с различным количеством рассчитываемых точек

Из соображений обеспечения потребного быстродействия ЭГУ при минимальной гидравлической мощности, необходимой для управления приводом, в пространстве критериев выбрана точка (табл. 2), и получено оптимальное решение (табл. 1).

Таблица 2

Таблица 3

Заключение

Применение таких алгоритмов МКО, как ЛП-поиск и ГА предусматривает получение множества оптимальных по Парето решений – точек, лежащих на фронте Парето, – и последующий выбор оптимального сочетания конструктивных параметров на основе неформализуемых критериев, известных конструктору. Для второго уровня оптимизации ЭГСП целесообразно применять многокритериальную модификацию ГА NSGA-II для получения аппроксимации фронта Парето, а затем выбирать решение из соображений обеспечения потребного быстродействия ЭГУ при минимальной гидравлической мощности, необходимой для управления приводом.

В результате сравнения эффективности ГА и ЛП-поиска показано, что, в применении к рассматриваемой задаче МКО, ГА  позволяет получить большее количество точек, лежащих на границе Парето с более равномерным распределением по границе при меньшем участии конструктора.

Из-за технологических ограничений, некоторые конструктивные параметры (например, диаметр золотника, диаметры сопел и дросселей, длина упругой струны) ЭГСП принимают дискретные значения. Для решения таких задач необходимо модифицировать процедуры ГА, участвующие в создании поколений (функции создания начальной популяции, скрещивания и мутации).

Рассмотренный в статье второй уровень оптимизации ЭГСП с дроссельным регулированием соответствует концепции оптимизации, изложенной в [1]. Научная новизна заключается в постановке и решении задачи многокритериальной оптимизации электрогидравлического усилителя мощности (ЭГУ), как реализации предложенной концепции.

Список литературы

1.               Замараев Д.С., Попов Д.Н. Концепция оптимизации электрогидравлического следящего привода с дроссельным регулированием // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 6. DOI: 10.7463/0613.0569281 

2.               Deb K. Multi-Objective Optimization Using Evolutionary Algorithms. NY: John Wiley & Sons, Inc., 2001.

3.               Marler R.T., Arora J.S. Survey of multi-objective optimization methods for engineering // Struct. Multidiscip. Optim. 2004. No. 26. P. 369-395.

4.               Карпенко А.П. Аппроксимация функции предпочтений лица, принимающего решения, в задаче многокритериальной оптимизации. 3. Методы на основе нейронных сетей и нечеткой логики // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2008. № 4. Режим доступа: http://www.technomag.edu.ru/doc/363023.html (дата обращения 17.10.2013).

5.               Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Дрофа, 2006. 175 c.

6.               Боровин Г.К., Попов Д.Н. Многокритериальная оптимизация гидросистем: учеб.пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. 94 c.

7.               Попов Д.Н., Асташев В.К., Густомясов А.Н. и др. Машиностроение: энциклопедия. В 40 т. Т. IV-2 : Электропривод. Гидро- и виброприводы. Кн. 2: Гидро- и виброприводы / под ред. В.К. Асташева, Д.Н. Попова. М.: Машиностроение, 2012. 303 c.

8.               Константинов С.В., Редько П.Г., Ермаков С.А. Электрогидравлические рулевые приводы систем управления полетом маневренных самолетов. М.: “Янус-К,” 2006. 316 c.

9.               Попов Д.Н. Механика гидро- и пневмоприводов: учебник для машиностроительных вузов. 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 320 c.

10.            Гилмор Р. Прикладная теория катастроф: пер. с англ. 2-е изд. М.: Мир, 1984. 285 c.

11.            Сосульников Г.Б., Иванов А.П. Линеаризация передаточной функции электромеханического преобразователя с эффективным демпфированием подвижной системы // Пневматика и гидравлика. Приводы и управление: сб. науч. трудов. Вып. 14. 1989. С. 265-268.

12.            Фомичев В.М. Преимущества электрогидравлических усилителей с механической обратной связью // Вестник машиностроения. 1975. № 4. С. 11-

13.            Попов Д.Н., Ермаков С.А., Лобода И.Н. и др. Инженерные исследования гидроприводов летательных аппаратов / под ред. Д.Н. Попова. М.: Машиностроение, 1978. 142 c.

14.            Бирюков О.Я., Котлов А.В., Фомичев В.М. Границы кавитационных режимов в устройстве сопло-заслонка // Вестник машиностроения. 1974. № 2. С. 18-21.

15.            Бажин И.И., Беренгард Ю.Г., Гайцгори М.М., Ермаков С.А., Клапцова Т.С., Кудинов А.В., Чкалов В.В. Автоматизированное проектирование машиностроительного гидропривода / под общ. ред. С.А. Ермакова. М.: Машиностроение, 1988. 312 с.

16.            Попов Д.Н. Динамика и регулирование гидро- и пневмосистем. М.: Машиностроение, 1976. 424 с.

17.            Коркодинов Д.В., Попов Д.Н. Оптимальное проектирование следящего электрогидравлического привода с дроссельным регулированием // Всерос. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов «Гидравлические машины, гидроприводы и гидропневмоавтоматика» (Москва, 9 декабря 2010 г.) : сб. докл. М.: Издательский дом МЭИ , 2010. С. 124-128.

18.            Andersson J., Krus P., Wallace D. Multi-objective optimization of hydraulic actuation systems // Proceedings of the 2000 ASME Design Automation Conference (DETC’00) (Baltimore, MD, 10-13 September 2000). DAC-14512. Режим доступа: http://cadlab.mit.edu/publications/00-andersson-asme-dt/dontindex/00-andersson.pdf (дата обращения 17.10.2013).