НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 531.391.1

Соколов А.И.

(аспирант каф. “Прикладная механика”
МГТУ им. Н.Э. Баумана)

Введение

В настоящее время для передачи энергии на большие расстояния, из-за относительно небольшой стоимости широко применяют воздушные линии электропередачи (ЛЭП) (рис. 1). Основными элементами ЛЭП являются провода.

Рис 1.

Провода линий электропередачи, из-за малой изгибной жесткости можно отнести к абсолютно гибким стержням или нитям (стержням, в которых пренебрегают крутильной и изгибными жесткостями).

В 20^х годах прошлого века возникла проблема повреждения проводов воздушных линий электропередачи от ветровой нагрузки [1]. Эти повреждения включали обрывы проводов, обусловленные большими динамическими нагрузками, а также пережогами, вызванными большими амплитудами колебаний проводов.

Отклонения проводов под действием аэродинамических сил могут быть весьма значительными. Поэтому их расчет на основе линейной теории может привести к неправильным результатам (как завышенным, так и заниженным). Поэтому для расчета проводов ЛЭП необходимо использовать нелинейные уравнения (как при исследовании задач “статики” проводов в потоке, так и при исследовании задач “динамики”). Получить решение нелинейных уравнений можно только приближенными численными методами, которые изложены в данной статье.

В статье дается алгоритм оценки прочности провода ЛЭП, взаимодействующего с потоком воздуха, требующий определения статического и динамического напряженно-деформированного состояния провода.

Обозначения и данные для расчета

На рисунке 2 изображена расчетная схема.

Рис 2.

Здесь , , - координаты одного конца провода; , , - координаты другого конца провода; - длина провода; - ускорение свободного падения; - плотность провода; - плотность набегающего потока; - расчетный диаметр провода; - площадь поперечного сечения; - масса единицы длины; , - коэффициенты касательной и нормальной аэродинамических сил; - коэффициент сопротивления; – скорость потока; и - углы, определяющие направление потока.

1. Определение статического напряженно-деформированного состояния провода

Рассмотрим малый элемент нити ds (рис. 3). Разложим вектор на две составляющие: и . Безразмерную аэродинамическую силу [2-4], действующую на единицу длины элемента, можно представить в виде суммы (рис. 3)

Рис 3.

. (1)

Модули сил и равны

где - модуль скорости , ортогональной (, ). Здесь - угол между вектором скорости и касательной к оси нити. Векторы аэродинамических сил можно записать в ином виде:

(2)

где

(3)

Вектор скорости в декартовой системе координат записывается в виде:

. 4)

Вектор в декартовых осях равен

. (5)

Здесь и далее величины со штрихом обозначают производную по дуговой координате.

Вектор записывается в виде:

(6)

Косинус равен:

(7)

Синус равен:

(8)

Подставляя выражения (5), (6) в (2) и проецируя на декартовы оси, получаем:

₍₉₎

Воспользуемся системой нелинейных дифференциальных уравнений равновесия нити в потоке в безразмерной записи [3]:

(10)

где - символ Кронекера (безразмерная распределенная сила веса провода).

Граничные условия:

1). , (11)

2). . (12)

При численном решении нелинейных уравнений равновесия провода в потоке воздуха использовался метод Ньютона-Рафсона. Были взяты следующие числовые значения параметров: ; м; м; м; g=9,8 м/с²; кг/м³; кг/м³; =28 мм; мм²; кг/м; =0,1; =1; 15 м/с – скорость потока; и - углы, определяющие направление потока. Величина Н.

Рис 4.

Рис 5.

Для рассматриваемого случая на рисунках 4 и 5 представлены проекции осевой линии провода в потоке и зависимость безразмерной осевой силы от безразмерной координаты соответственно. Максимальная сила, действующая на правую опору равна 1,02 кН.

2. Определение собственных значение и собственных векторов

Уравнения свободных колебаний нити, в проекциях на неподвижные декартовы оси, имеют вид [3]:

, . (13)

Здесь - безразмерное время.

К трем уравнениям (13) нужно добавить уравнение нерастяжимости оси провода:

. (14)

Выведем уравнения малых колебаний нити. Для этого положим, что приращения перемещений осевой линии и внутренних сил , – малые величины. Т.е.

(15)

Подставляя (15) в (13), (14) и учитывая уравнения статики (10), получаем:

(16)

Если ввести векторы , и , то выражения (16) можно записать в виде:

(16')

Умножив второе уравнение (16') скалярно на и учитывая третье выражение, получим:

. (17)

Подставляя в (16') выражение (17) и вводя матрицу

, (18)

получаем:

(19)

Решение (19) будем искать в виде , . Тогда после подстановки в (19) получим:

(20)

или

, (21)

где , .

Решение (21)

. (22)

Здесь - фундаментальная матрица решений.

Краевые условия задачи:

(23)

С учетом краевых условий (при , ), три компоненты вектора равны нулю (, , ). Из краевых условий при () получаем из (22) систему трех однородных алгебраических уравнений:

. (24)

Так как нас интересует нетривиальное решение, то определитель должен равняться нулю, т.е.

. (25)

Из условия (25) определяем собственные значения . Каждому собственному значению соответствует собственный вектор [3]

.

Для определения собственных векторов необходимо определить , , . Т.к. система (24) для каждого – линейно зависима, то для определения констант () положим одну из них равной единице (например ) и из двух уравнений системы (24) найдем , .

Векторы и удовлетворяют условиям ортогональности (при ):

, (26)

. (27)

Для однозначного определения констант используем условие нормировки:

. (28)

Из выражения (28) можно получить:

(29)

Для рассматриваемого случая первые четыре собственные частоты представлены в таблице 1 ( Гц).

Таблица 1. Собственные частоты.

3. Вынужденные колебания провода в стационарном потоке воздуха

Нелинейные векторные уравнения движения нити имеют вид [3]:

(30)

Внешнее трение вводится для учета рассеяния энергии за счет не учитываемого аэродемпфирования и затрат на конструктивный гистерезис в модели ().

Входящий в (30) вектор в декартовых осях имеет следующие проекции:

(31)

где и вычисляются по формулам (3).

Величины, входящие в (30), можно записать, учитывая уравнения равновесия (10), в виде:

(32)

Здесь , и - конечные величины.

Тогда получим:

(33)

Умножим второе уравнение (33) скалярно на , учитывая (14), получим:

. (34)

Подставляя (34) в (33) получаем:

(35)

Приближенное решение системы уравнений (35) будем искать в виде:

(36)

Подставляя (36) в (35) и учитывая (20), получаем:

₍₃₇₎

где , .

Возможные обобщенные перемещения [3] берем в виде

(38)

В соответствии с принципом возможных перемещений, считая и независимыми величинами, получаем систему уравнений:

; , . (39)

После преобразований получаем систему зависимых дифференциальных уравнений относительно функций и .

Введем следующие обозначения:

; ;

;

;

.

Тогда (39) запишется в виде:

(40)

.

Введем обозначения:

; ; ; ; ;

;

.

Тогда (40) примет вид:

(41)

Исключив из уравнения , которые входят в уравнения без производных, можно получить систему нелинейных дифференциальных уравнений относительно функций :

или

. (42)

Для сравнения получим линейное решение. В этом случае изменится только второе уравнение (35). Оно будет аналогично второму уравнению (19), т.е.

. (43)

Проделывая вышеописанные действия, получаем:

₍₄₄₎

Рассмотрим второе уравнение (39):

(45)

Из условий (27) и (29), получаем, что или . Следовательно

. (46)

Начальные условия для функций зависят от характера действующих на провод аэродинамических сил. Например, при импульсном нагружении потоком при должны выполняться условия , . Численные методы определения начальных скоростей для пространственно криволинейных стержней при импульсном нагружении изложены в статье [5].

На рисунках 6а,б показаны возможные изменения скорости потока от которой зависят аэродинамические силы.

Рис 6. а, б

На рисунке 6а показан случай, когда стационарный поток () внезапно увеличивается на конечную величину, что приводит при к резкому изменению аэродинамических сил. На рисунке 6б показан случай, когда на провод, находящийся в стационарном потоке, внезапно подействовал порыв ветра со средней кратковременной скоростью много большей скорости . Это случай импульсного нагружения кратковременными аэродинамическими силами. Приведем результаты численного решения нелинейных уравнений движения провода при действии импульсной аэродинамической нагрузки, соответствующей случаю изменения скорости, показанной на рисунке 6б.

Для рассматриваемого случая (v₀=15 м/с, v=30 м/с, и ) были получены результаты, представленные на рисунках.

Рис 7.

На рисунке 7 представлена зависимость осевых сил на правом конце нити от времени, при импульсном нагружении.

Рис 8.

На рисунке 8 представлены осевые силы в проводе в момент времени, соответствующий максимальному значению осевой силы при импульсном нагружении. Как видно из графиков, линейный расчет хорошо согласуется с нелинейным. Максимальная сила, действующая на правую опору при импульсном нагружении равна 1,04 кН.

На рисунке 9 представлена зависимости максимальной осевой силы от угла при различных углах для импульсного нагружения.

Рис 9.

На рисунке 10 представлена зависимости максимального приращения осевой силы от угла при различных углах для импульсного нагружения.

Рис 10.

На рисунке 11 представлена зависимость максимальных перемещений точек оси провода от угла при различных углах для импульсного нагружения.

Рис 11.

Как видно из рисунков максимальная сила действующая на опору равна 1,2 кН. Максимальное перемещение точек оси провода равно 11 м. Максимальное приращение осевой силы составляет 18% для импульсного нагружения от максимальной статической силы.

Вывод

Предложенный алгоритм позволяет оценить прочность и максимальное отклонение точек оси нити провода при нелинейных колебания, возникающих при порыве ветра, определить силы, действующие на опоры. Как показал расчет – для импульсного нагружения можно использовать линейные уравнения без значительной потери точности.

Литература

1.    Buckner W.F., Papailiou K.O. Planung und Betrieb von Freileitungen im Hinblick auf Windbedingte Seilschwingungen. –Electrizitatswirtschaft, 1987, vol.86, N10.

2.    Горлин С.М. Экспериментальная аэромеханика. – М.: Высшая школа, 1970. – 423 с.

3.    Светлицкий В.А. Механика абсолютно гибких стержней. - М.: Изд-во МАИ, 2001. - 432 с.

4.    Светлицкий В.А. Механика стержней (т. 1: Статика). - М.: Высшая школа, 1987. - 320 с.

5.    Светлицкий В.А. Нестационарные колебания стержней при импульсном нагружении. МТТ, ╧2, 2006 г.