ИНЖЕНЕРНЫЙ ВЕСТНИК

УДК 517.97

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана

emil-moscow@mail.ru

Введение

Составление карт местности является одной из центральных задач современной картографии. Для её решения часто используют аэрофотосъёмку с применением самолёта, который облетает на определенной высоте соответствующую местность с её фотографированием. В этом случае одна из аэронавигационных задач состоит в определении типа зависимости замкнутой траектории облета местности, начинающейся из начальной точки, при которой она охватывает максимальную площадь  при заданных боковой нечёткой скорости ветра  и чёткой курсовой скорости  самолёта.

При  в научной литературе эта задача известная как задача финикийской царевны Дидоны о выборе типа линии фиксированной длины, окружающей максимально возможную площадь (изопериметрическая задача), которая решается типовыми методами вариационного исчисления [1, 2].

Модификация этой изопериметрической задачи при известна как задача Чаплыгина и она решается так же методами вариационного исчисления [3].

Ниже решается простейший вариант нечёткой задачи Чаплыгина, когда скорость ветра  задается в виде нечеткого числа  с треугольной функцией принадлежности, которая характеризует вариацию скорости ветра в процессе облёта заданной области. Это представляет научную новизну сформулированной выше задачи.

Постановка задачи

Формализуем нечёткую задачу Чаплыгина. Для этого введём декартову систему координат  в горизонтальной плоскости относительно Земли, проходящей через замкнутый плоский контур , по которому происходит облёт самолетом области  площадью  (рис. 1). Найдем тип оптимизируемого функционала.

Рис. 1. Проекция на горизонтальную плоскость траектории L облёта самолетом области D.V-курсовая скорость;   - путевая скорость; Wн - нечёткая скорость ветра

Контур  в параметрической форме имеет вид  поэтому  формула Грина при  для односвязной области  которая ограничена замкнутым контуром  будет иметь вид:

где  заданное время облёта области  по траектории

На функционал (1) наложим ограничения (рис.1):

                (2)

с чёткими краевыми условиями:

               (3)

Задача  состоит в выборе такого управления [10, 11], при котором, начав движение из чёткой точки    (3),  самолёт облетит за заданное чёткое время  область  максимальной нечёткой площади  при ограничениях (2)  с нечёткой величиной   с треугольной функцией принадлежности

При чётком условии  в (2) соответствующую задачу принято называть задачей Чаплыгина [5, 6]. При нечётком условии  задачу  будем называть нечёткой задачей Чаплыгина, которая является естественным обобщением её четкого аналога. В  нечёткость интерпретируется как вариация  скорости ветра.

Задача  является нечёткой вариационной задачей Лагранжа без ограничений на управление [9]. В соответствии с постановкой задачи необходимо найти оптимальную траекторию и оптимальное нечёткое значение площади  облета области .

Метод решения

Для решения задачи  используем принцип максимума [5, 6].

Гамильтониан  имеет вид

где  вспомогательные переменные.

Находим максимум  по управлению:

Сопряженные уравнения определяются системой

Из (4) имеем а из (5) соответственно

После подстановки этих значений в (6), преобразований и переобозначений получим

(

Введем замену переменных:

Тогда (2), (7) будут иметь вид

(

   ⇒                                                                     (10)

Из (10) следует, что:

Кроме того имеем

Полученные соотношения (8) – (11) определяют кривую второго порядка в полярной системе координат

Действительно из (11) имеем:

   =

= =

=

=

Таким образом, получим

откуда после интегрирования будем иметь

⇒

Таким образом, при  получим полярное уравнение нечёткого эллипса, где  – нечёткий эксцентриситет,  - фокальный параметр (рис. 2):

Рис. 2. Оптимальная траектория (эллипс) Lоблёта самолётом максимальной площадью Sпри наличии нечёткой скорости ветра W_н

Нечёткая площадь  полученного эллипса[7]

гдебольшая полуось нечёткого эллипса;малая полуось;

Определим параметры эллипса , используя заданное время  Элемент дуги  кривой, заданной в явной форме
 самолёт пролетает за элемент времени  с курсовой скоростью :

По теоремы косинусов имеем (рис.2):

Кроме этого:

Выразим через  из квадратного относительно уравнения:

Тогда после преобразований получим выражение

которое после подстановки в (12) и преобразований даёт

Отсюда имеем

Обозначеним

Тогда последнее выражение будет приобретает вид:

Из канонического уравнения эллипса в координатах  имеем (рис.2):

которые после подстановки его в (13) и интегрирования даёт

Отсюда

В результате получим

Пусть тогда нечёткое  находится из расширенной нечёткой линейной системы (НЛС) [8]:

Поэтому имеем:

=.

Здесь, зависят от, поэтому возможны «сильное» или «слабое» решения расширенной НЛС.

4. Числовой пример.

Пусть имеем (рис. 3а-3в):

тогда из (14) получим, что  не является нечётким числом, т.к.  возрастает, а убывает, поэтому после соответствующей замены получим «слабое» решение нечёткой задачи Чаплыгина.

≃

≃.

Нечёткие параметры эллипса будут соответственно равны

≃(31.350; 31.668) [м];≃(31.597; 31.757)  [м].

Таким образом, для заданных исходных данных нечёткий эллипс незначительно отличается от нечёткой окружности.

Выводы

Решена задача по нахождению оптимальной траектории облёта самолетом области при воздействии на самолёт нечёткой боковой скорости ветра.

С использованием принципа максимум для решения нечёткой вариационной задачи получено «слабое» решение относительно площади облёта самолетом.

6. Заключение.

Выше решалась задача по нахождению оптимальной траектории облёта самолётом области при нечёткой величине скорости бокового ветра и чёткой курсовой скорости самолёта. Подобным способом может быть решена задача при наличии нечётких курсовой скорости самолёта и боковой скорости ветра.

Литература.

1.     Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах. М., Высшая школа, 2006.

2.     Панов В.Ф. Математика древняя и юная. М., МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2006.

3.     Ченцов Н.Г. О траектории аэроплана, охватывающей наибольшую плоскость. Вестник воздушного флота №1,2, 1925, с.469-473.

4.     Гаврилов В.Р. и др. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля. М., МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2008.

5.     Брайсон А.,Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М., Мир, 1972.

6.     Афанасьев В.Н. и др. Математическая теория конструирования систем управления. М., Высшая школа, 2008.

7.     Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. М., МГТУ им.Н.Э. Баумана, 2005.

8.     Menahem Friedman. Fuzzy linear systems. Fuzzy sets and systems, 96(1998), 201-209

9.     Мочалов И.А. и др. Методы робастного, нейро-нечеткого и адаптивного управления. М., МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.

10.  Мочалов И.А. Нечеткие вероятностно-статистические методы в задачах управления. Гл. 9-11. М., Электронный носитель на CD, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003.

11.  Мочалов И.А. Методические материалы по нечетким методам в задачах управления. М., Электронный носитель на CD, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004