НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Московский государственный текстильный университет

имени А.Н. Косыгина

В наследственной теории для описания нелинейной вязкоупругости металлов [1] и текстильных материалов [2-4,5] применяются ядра ползучести  типа и . Что касается ядер ползучести типа , то возможность их применения в интегральных уравнениях для описания вязкоупругих свойств пряжи не была рассмотрена. Однако необходимо отметить, что при выборе ядер типа  или для описания нелинейной вязкоупругости пряжи возникает вопрос, связанный с учетом активирующего действия напряжения на процесс деформации пряжи. Для его решения, при аналитическом описании  вязкоупругих свойств полимерных материалов c использованием наследственной теории, активирующее влияние напряжения на процесс деформирования нитей и пряжи учитывается введением зависимости времени запаздывания от напряжения :, где , - энергия активации, определяемая из экспериментов на ползучесть исследуемого объекта при одноступенчатом нагружении, – энергетическая константа. В частности, при неизменном механизме деформации в области малых напряжений зависимость энергии активации от напряжения имеет вид  , где - активационный объем [6,7]. При таком представлении о влиянии нагрузки на процесс деформации пряжи возникает вопрос, связанный с зависимостью изменения энергии активации от режимов деформирования. Очевидно, что одно и то же напряжение  в образце можно получить при различных режимах нагружения, например: при нагружении образца в режиме ползучести, при нагружении в режиме релаксации напряжения, при нагружении в режиме с постоянной скоростью деформации. Также возникает вопрос, что является постоянной при достижении напряжения  при неизменном механизме деформации и при различных одностадийных режимах нагружения образца, энергия активации  или  и . Ответы на этот вопросы находятся в поле теоретических представлений о механизме деформации исследуемого объекта. К тому же, величину энергии активации исследуемого объекта можно определить только при проведении экспериментов на ползучесть при одноступенчатом нагружении.

Приведенный материал, связанный с выбором ядер и с энергией активации, определяет разветвление в развитии аналитического описания пряжи с применением наследственной теории, и, соответственно, различие в решениях применяемых интегральных уравнений для описания нелинейной вязкоупругости исследуемого объекта, так как ядра ползучести интегральных уравнений являются функциями не только от времени, но и от энергии активации, и, следовательно, от времени запаздывания. Поэтому, целью данной работы является проведение исследований, связанных с возможностью применения интегральных уравнений с ядром ползучести , которое в преобразованной временной шкале представляется видом  для описания и прогнозирования нелинейной вязкоупругости пряжи, с положением о независимости энергии активации от режимов деформации пряжи при её одностадийном нагружении до наперед заданного напряжения.

В качестве объекта исследования использовалась многокомпонентная пряжа (хлопок-30%, лен-20%, лавсан-50%). Линейная плотность пряжи -29 текс. Испытания на ползучесть проводили на релаксометре деформации конструкции каф. сопротивления материалов Санкт-Петербургского Государственного Университета Технологии и Дизайна. Испытания на растяжение с постоянной скоростью проводили на разрывной многофункциональной машине модели Инстрон – 1122. Испытания проводились при температуре . База – 100мм.

Опираясь на основные положения наследственной теории изложенной в работе [1], допустили, что величина деформации в момент времени , возникающая за счет напряжений, действующих до момента времени , равна

                                     .                                     (1)

         С учетом упругой деформации и выражения (1), интегральное уравнение связывающее деформацию и напряжение примет вид:

                                                    (2)

или

                                                             (3)

Уравнение (3) является линейным интегральным уравнением в преобразованной временной шкале относительно функции с ядром ползучести , а интегральное уравнение (2) является линейным уравнением в реальной временной шкале относительно функции  с ядром ползучести .

Исходя из представлений, что причиной релаксационных процессов является микроползучесть (такое представление определяет необходимость введения в математическое описание модели положения о независимости энергии активации  от режимов деформирования, определяемое из экспериментов на ползучесть), и, учитывая активирующее действие напряжения на процесс деформации материала, интегральное уравнение (2) с ядром ползучести  примет вид:

,             (4)

где  и - упругие характеристики модели, и- постоянные, - деформация в момент времени , - напряжение в момент времени , - напряжение, зависящее от текущего времени ,  - среднестатистическое время запаздывания, зависящее от напряжения , определяемое из экспериментов на ползучесть, - энергия активации, - сило-временной аргумент, .

Интегральное уравнение (4) в реальной временной шкале является интегральным уравнением с ядром ползучести .

Уравнение ползучести модели, которое вытекает из интегрального уравнения (4) при  и вычисления интеграла стоящего в правой части уравнения (4) примет вид:

                                     (5)

Индекс  при напряжении  в уравнении (5) опущен, так как рассматривается режим деформирования пряжи  при постоянном напряжении.

Из уравнения ползучести (5) следует, что при , - упругая деформация. При  ,  - предельная суммарная деформация.

В работе [5], для количественного описания ползучести лавсановых нитей было применено уравнение ползучести с нормированной функцией арктангенс от степенного аргумента, которое имеет вид:

                                             (6)

При , где ,  и  из уравнения (4) выводится уравнение (5).

Уравнение (6) не применялось ранее для описания ползучести пряжи. Разрешая уравнение (4) относительно , получим интегральное уравнение с резольвентой  , которое представим в виде:

  (7)

Из уравнения  (7), при , выводится уравнение для описания релаксации напряжения модели в изотермических условиях испытания:

                (8)

При , уравнение (8) примет вид:

                (9)

Следует отметить, что в уравнения (8) и (9) для описания релаксации напряжения входит время запаздывания , а не время релаксации , определяемое из кривых релаксации напряжения.

Представляет определенный интерес установление взаимосвязи времени запаздывания   определяемого из кривых ползучести и временем релаксации напряжения , определяемого из кривых релаксации напряжения. Так как  при применении уравнений (9) для описания релаксации напряжения является возрастающей функцией от времени, то для введения времени релаксации в уравнение (9), предположим, что время запаздывания связано со временем релаксации напряжения следующим равенством:

,                                                 (10)

где , , .

После подстановки (10) в (9) получим уравнение для описания релаксации напряжения пряжи, включающее в себя время релаксации напряжения, определяемое непосредственно из кривой релаксации напряжения:

                (11)

Из вывода уравнения (11) следует, что постоянная  определенная из семейства кривых ползучести, должна превышать значение постоянной  определенной из кривых релаксации напряжения, то есть . Из последнего неравенства следует зависимость величины  и  от режима нагружения.

При применении уравнения (7) для описания релаксационных процессов в пряже при одностадийном ее нагружении в изотермических условиях, например, для описания семейства кривых релаксации напряжения или семейства диаграмм растяжения, величина времени запаздывания определяется из - той кривой ползучести соответствующей напряжению . Поэтому, для описания кривых релаксации напряжения, соответствующих различным численным значениям деформации, при одностадийном нагружении пряжи или для описания диаграмм растяжения, соответствующих различным скоростям нагружения пряжи, должно выполняться равенство , где - определяется из экспериментов на ползучесть. На рис.1 отображено соответствие между временем запаздывания и напряжением для различных режимов нагружения пряжи.

                                    а)                                                                          б)

Рис.1. Схематические изображения кривых релаксации напряжения и диа-   

           грамм растяжения и соответствие времен запаздывания: а) кривые

           релаксации напряжения, ; б) диаграммы растяжения,  

          .

На рис.2а. приведены кривые ползучести исследуемой пряжи. Как следует из приведенного графика, семейство кривых ползучести  в координатах  характеризуется различными формами, включая - образную форму.

Для количественного описания семейства кривых ползучести применили уравнение (6). Численные значения  упругих и вязких характеристик, входящие в (6) определяли графо-аналитическим методом с применением напряжено-временной аналогии [5]. Для определения упругих характеристик, входящих в уравнение (6), применялась методика, в основе которой лежит возможность построения обобщенной кривой. Для вычисления  и были использованы выведенные формулы:

,                                               (12)

,                                  (13)

где    , .

Расчет  проводился по формуле (13) при

На рис.2а приведены экспериментальные и расчетные кривые ползучести для пряжи. Расчетные кривые получены с применением уравнения (7).  Из сопоставления экспериментальных и расчетных кривых наблюдается их хорошее соответствие.

            а)                                                          б)

Рис.2 – кривые ползучести пряжи и зависимость  от

а) - кривые ползучести; · - эксперимент, ¾¾ - расчет; б) зависимость   от ;

Расчетные кривые ползучести для пряжи получены при значениях , ==0.319 , ==0.712и зависимости , приведенной на рис.2б. Численные значения характеристик вычислены с применением принципа напряженно-временной аналогии по методике приведенной в работе [5]. На рис.3 приведены диаграммы растяжения пряжи, соответствующие различным скоростям деформации.

Для прогнозирования диаграмм растяжения по кривым ползучести использовалось уравнение, которое выводится из (7) при  и  с применением зависимости , где  и зависимость  (рис. 2б) определяются из кривых ползучести.

,                                          (14)

где ,                             (15)

 где  

Рис.3 – Участки диаграмм растяжения соответствующие различным скоро-

                 стям деформации пряжи:

                 1 - V=0,0498  2 - V=4.98 ; ¾  - эксперимент, -·- и -│ё-  

                 расчет.

         Следует отметить, что в методологическом аспекте, из полученного уравнения для описания диаграммы растяжения рассчитывается величина деформации  при заданной скорости деформации и известных значениях , зависимости  от , определяемых из экспериментов на ползучесть. После вычисления деформации производится построение графика в координатах  - . Для решения уравнения (14) написана специальная компьютерная программа.

Из сопоставления расчетных и экспериментальных диаграмм растяжения следует их достаточно хорошее соответствие (рис.3), что позволяет заключить о возможности применения  предлагаемых интегральных уравнений, и соответственно разработанной методики для прогнозирования диаграмм растяжения пряжи по ее кривым ползучести.

Выводы

·        Получены интегральные уравнения для описания нелинейной вязкоупругости пряжи с ядром ползучести  и резольвентой , с использованием положения о независимости энергии активации от режимов деформации при одностадийном нагружении пряжи до заданного напряжения.

·        На основе полученных интегральных уравнений разработана методика прогнозирования поведения пряжи под нагрузкой по кривым ползучести.

·        Применимость разработанной методики прогнозирования показана на примере расчетов диаграмм растяжения пряжи по кривым ползучести.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. – М. «Машиностроение», 1968 г. 400 c.

2. Сталевич А.М. // Проблемы прочности. 1981 г., ‡‚12,  С. 95 – 98.

3. Сталевич А.М. // Известия вузов. ТЛП. – 1989 г., ‡‚ 3, С. 23 – 29.

4. Сталевич А.М. // Проблемы прочности, 1985 г., ‡‚2, С. 40-42.

5. Саркисов В.Ш., Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук. 2001г.

6. Бартенев Г.М., Зеленев Ю.В.,  Физика и механика полимеров-М. Высшая школа , 1983 г. 319 с.

7. Москин И.В., Бекина А.А., Саркисов В.Ш. // Известия ВУЗов, ТТП, 2007 г., ‡‚4, С. 109-113